Karmaşık Sistemler (1)

# Abi "bana complex sistemleri anlat" diye tutturdu. Periyodik olarak soruyor. Ben de anlatıyorum. Hehe, bu sefer mail atmamı istedi. Ben de şöyle bir şeyler yazdım:

# Madem Wikipedia'ya bakıp okumaya üşeniyorsun ben de sana daha iyi
öğrenebilmen için anlamak için çaba harcamanı gerektirecek bir
anlatımla karışık vereceğim.
# Efenim complex sistemler mevzuna başlamadan önce complex sistemlerin
bir alt-kümesi olduğu non-linear sistemler ve lineer sistemler
ayırımından bahsetmek lazım:

# Lineerlik fiziğin, matematiğin ve mühendisliğin bir çok alanında
kullanılan bir kavram ama farklı bağlamlarda farklı anlamlara
gelebiliyor: birinci dereceden polinom, birinci dereceden denklem
grubu, lineer differansiyel denklem, lineer cebir, lineer operatör,
lineer transformasyon... bunlar doğrusallık sıfatının anlamlı olduğu
matematik yapılar.
# Lineer cebir (MAT201) diye bir ders var, ve temel bilimler matematik
eğitiminde bu konular ayrıntılı bir şekilde öğretiliyor. Üniversite
mezunları lineer bir problemle, sistemle karşılaştıklarında onunla
başa çıkabilecek bir zihinsel donanıma sahip oluyorlar. Bu da işin
sosyo-politik yönü.
# Birinci dereceden polinom: y=a*x+b, birinci dereceden denklem grubu
y1=a11*x1+a12*x2+b1, y2=a21*x1+a22*x2+b2 silsilesi, lineer cebir
matris'lerin (deminki denklem silsilesinin farklı bir notasyonla ifade
eden objeler) bol işlendiği konu, eigenvalue (öz değer),
eigenfunction'ların gırla gittiği ders, lineer problem: hesaplama
zamanının girdinin büyüklüğüyle doğru orantılı olduğu problemler.
BigOh notasyonda O(N) diye gösteriliyorlar. Örneğin rastgele sırayla
verilen N adet sayıdan en küçüğünü bulmak için tüm sayılara bakmak
gerekiyor. N sayı için N kıyaslama lazım. Oysa N sayıyı sıralama
problemi kullanılan algoritmaya göre O(N^2) ile O(N) arasında bir
zaman alabiliyor. (anlamadan geçme)
# Lineer diff denklemler de MAT202'nin çoğunluğunda öğretilen konu.
Lineer sistemlerin zaman içerisindeki değişimleri matematiksel olarak
modellenip, çözülüyorlar (başlangıç durumlarına göre rotaları
bulunuoyor.)
# Bu kavramlar ışığında lineer sistemlerden şöyle şeyler anlamalıyız:
Lineer sistemlerde çıktı girdi ile doğru orantılıdır. Bu sadece girdi
arttığında çıktı artar şeklinde bir korelasyon değil, girdi n katına
çıkarsa çıktı da n katına çıkar şekline kesin bir ilişki. y=a*x gibi
ilişkiler yani. a orantı katsayısı oluyor. (eğer sistem y=a*x+b
şeklinde x->y sistemiyse de x=x'-b/a diye bir koordinat dönüşümü
hazırlarsın: x->x' => y->y'. o zaman
y'=a*(x'-b/a)+b)=a*x'-a*b/a+b

=a*x'-b+b=a*x' diye pseudo-lineer'dan
lineer bir sisteme dönüştürebiliriz. Bunu lineer olmayan bir sistemi
lineer matematikle çözmenin en basit örneği olduğu için verdim.
(anlamadan geçmek yok))
# Lineer sistemlerde superposition ilkesi geçerlidir. Yani sistem x'i
y'ye ve başka bir obje olan t'yi z'ye götürüyor. Bu götürmeyi yapan
işleme de A lineer operatörü diyelim. y=Ax ve z=At diye gösterilir bu.
Önce ilk ilkeyi yazalım: x y'ye gidiyorsa, c*x c*y'ye gitmelidir. yani
A(cx)=c(Ax)=cy. İkinci ilke superposition ise şudur: girdide x'in
varlığı ve t'nin varlığı birbirinden bağımsızdır, x'in varlığı t'nin
z'ye gidişini, t'nin varlığı x'in y'ye gidişini etkilemez. Daha basit
bir ifadeyle x ve t etkileşmezler. Aksi bir örnek Güneş sistemidir.
Dünya Güneş'in etrafında döner. Mars da Güneş'in etrafında döner. Ama
Dünya ve Mars da birbirlerini çekerler. Yani Güneş-Dünya-Mars sistemi
"(Mars'ın yokluğundaki) Güneş-Dünya" + "(Dünya'nın yokluğundaki"
Güneş-Mars" sistemlerinin superposition'ından farklıdır. Burada
lineerleştirme, Dünya-Mars etkileşimi ihmal ederek sağlanır. Bunun
matematik gösterimi: A(x+t)=Ax+At. İki ilkenin bir arada ifadesi: w=
"A(cx+kt)=cAx+kAt" =y+z. (Bu formülleri anlamadan geçme, denklem bu
anlamasam da olur, yazıya bakayım deme, çünkü bütün bu laflar şu basit
ifadenin bir açıklama çabası aslında. Burada önce gelen denklem, laf
değil ne yazık ki.)
# Eğer A=f(x,t)=3*x+2*t+a*x*t olsaydı, yani xt diye bir terimimiz
olsaydı bu x ve t'nin etkileşimi ifade ediyor olacaktı. Bu sisteme
lineer yaklaşmak demek a<<1 assumption'ınını yapmak demek.

# Lineer sistemlere örnekler, kaldıraç: ne kadar bastırırsan öteki
taraftan o kadar yükselir. yük=("kuvvet kolu"/"yük kolu")*kuvvet. Yük
= y, "kuvvet kolu"/"yük kolu"=a ve kuvvet=x dersen al sana y=ax doğru
orantı, lineer ilişki.
# Yay kuvveti: F=-k*x. Ne kadar çekersen kuvvet onun -k katı kadar
artar. Tabii gerçek hayatta her yayın çekilebileceği bir uzunluk var,
daha fazla çekersen yayın yapısı bozuluyor ve kuvvet ve çekme uzunluğu
arasındaki ilişki bozuluyor. Yani bu sistem ancak x'in belli sınırlar
içinde kalacağını garanti edersek lineer bir sistem.
# Gitar amfisi de gitar telinin titreşim hareketini düşük genlikli
elektrik sinyaline çeviren pick-up'lardan alıp (hoparlöre göndermek
üzere) genliği yüksek elektrik sinyaline çeviren bir alet. Bunlar ne
kadar hi-fi (high-fidelity) olurlarsa y=ax 'e o kadar yaklaşıyorlar. x
giren sinyal, y çıkan sinyal, a da pozitif reel sayı. Ama mesela
amfiler x'in belli bir değerler arasında olduğu varsayılarak imal
ediliyorlar. örneğin -x0 <> aralığı içinde y=a*x tutuyor. Ama x
x0'ı geçtiğinde bu bozuluyor ve x0'dan büyük tüm değerleri yine a*x0'a
götürüyor. (Saturation) keza -x0'dan küçük tüm x değerlerini de -a*x0
götürüyor. (Ne olup bittiğini anlamak için y(x) grafiğini bir çiz.
Çizmeden kompleks sistemleri anlamadım, tekrar anlat deme) İşte amfi
yapılırken bu x0 mümkün olduğunca büyük yapılmaya çalışıyor.
Distortion dediğin ise işte amfi'ye beklediğinin çok üstünde sinyal
göndermek demek. orada y=ax sadakati bozuluyor ve giren sinyali
büyüteçle bakılmış bir halini değil bambaşka bir sinyali görmeye
başlıyoruz.
# Işığın düz aynadan yansıması, yansıma açısı = gelme açısı (a=1).
Işığın kırınımı n1*x1=n2*x2 yani x2=(n1/n2)*x1 (x1 gelme açısı, x2
kırılma açısı, n1 n2 1. ve 2. ortamın kırılım indisleri)
# Akustik olaylar gibi muhtelif dalga fenomeninde de süperposition
geçerlidir. Odanın içinde oturuyorsun. İki farklı yerde bir şeyler ses
çıkarıyor. Senin kulak zarın öyle titreşiyor ki "toplam titreşim" =
"ikinci kaynağın yokluğunda birinci kaynağın yaratacağı titreşim" +
"birinci kaynağın yokluğunda ikinci kaynağın yaratacağı titreşim".
Keza ışık içinde bunlar geçerli. Tahmin edeceğin gibi insan işitme
sistemi de tamamen bu özelliğin üstüne kurulu. iki sesin varlığında
ses1*ses2 gibi bir terim olsaydı, babayı alırdık.
# Bugünlük bu kadar yeter. Önce lineer sistemleri anla, sonra
non-lineer'lere geçeriz. Anlamadığın yer olursa sorabilirsin.
Laylay...
-uğur-